Cinco libertades que todos los exploradores matemáticos deberían disfrutar

 

Creí haber elegido el cuento perfecto para la ocasión. Ante mí se encontraba un grupo de niños latinos y afroamericanos, llenos de entusiasmo, provenientes de un barrio humilde de Los Ángeles. Aquella mañana de sábado, participaba en un programa donde voluntarios leían cuentos a los niños. Había seleccionado un libro ilustrado encantador sobre un viaje a la playa, y pensé que sería bien recibido. Pero tras leer unas pocas páginas con gran entusiasmo, me di cuenta de que los niños no compartían mi alegría.

Hice una pausa y pregunté: "¿Cuántos de ustedes han ido alguna vez a la playa?"

Para mi sorpresa, aunque esta parte de Los Ángeles está a solo 15 millas del océano, solo uno de los ocho niños levantó la mano. ¿Ir a la playa no era una actividad californiana por excelencia?

Después de reflexionar, me di cuenta de que en un vecindario de bajos ingresos, los padres a menudo tienen varios trabajos para llegar a fin de mes, por lo que es posible que no tengan el tiempo o los recursos para llegar a la costa. Y cuando un amigo mío afroamericano escuchó esta historia, explicó cómo los afroamericanos fueron sistemáticamente excluidos de las playas y piscinas debido a la segregación de Jim Crow, no solo en el sur sino en todo Estados Unidos, incluido Los Ángeles. Desconocía por completo esto.

Por desgracia, me había perdido importantes contextos históricos, culturales y económicos que hicieron que la playa fuera inaccesible para estos niños. Me hizo reflexionar sobre cómo motivo a mis alumnos para que se dediquen a las matemáticas. ¿Qué contextos me estoy perdiendo y de los que debería ser más consciente? ¿Cuáles son las experiencias principales que les han dado forma o las están dando forma, y ​​presentan obstáculos u oportunidades para aprender matemáticas? ¿Cuáles son las fortalezas únicas que aportan a las actividades matemáticas? ¿Y de qué manera los espacios matemáticos, como las playas, dicen "Abierto a todos" pero aún se sienten restringidos?

Para mí, la playa se convirtió en una metáfora de varias libertades que son el sello distintivo de hacer matemáticas: libertades entregadas a algunos y negadas a otros. Así como deberían manifestarse en cada playa, las libertades que discutiremos deberían estar presentes en cada espacio matemático. Son parte del atractivo de hacer matemáticas para aquellos que tienen la suerte de experimentar las matemáticas como se debe experimentar. Por el contrario, la negación de esas libertades contribuye al miedo y la ansiedad que muchas personas sienten hacia las matemáticas.

La libertad es un deseo humano básico. Es una idea central detrás de los movimientos históricos de derechos humanos y un signo del florecimiento humano. Buscamos la libertad a lo grande: piense en las Cuatro Libertades que el presidente Franklin D. Roosevelt dijo que todas las personas deberían tener: libertad de expresión, libertad de religión, libertad frente a la miseria y libertad frente al miedo. También buscamos la libertad en formas pequeñas que pueden sentirse igual de importantes, como la libertad con nuestro tiempo o la libertad para tomar nuestras propias decisiones.

Quiero destacar cinco libertades que son fundamentales para hacer matemáticas: la libertad de conocimiento, la libertad de explorar, la libertad de comprensión, la libertad de imaginar y la libertad de bienvenida. Como explorador matemático, debe ser consciente de estas libertades para que pueda reclamarlas para sí mismo y aspirar a cumplirlas para todos los que encuentre.

La libertad del conocimiento

Es fácil subestimar la libertad del conocimiento , porque si la tienes, la das por sentada, y si no la tienes, ignoras por completo lo que te estás perdiendo. Para experimentar su libertad, debes conocer la playa y sus múltiples opciones de recreación: cómo nadar, surfear, bucear, tomar el sol, hacer un picnic, jugar al voleibol, etc. Esto parece obvio para cualquiera que haya estado allí, pero si eres como los niños que no conocían la playa, ya sea porque nunca te lo contaron o porque alguien te impidió ir, no conocerás las alegrías que te esperan.

Dentro de las matemáticas, la libertad de conocimiento también es fundamental. Si conoce solo un método para atacar problemas, está limitado, porque ese método puede no funcionar bien para su problema particular. Pero si tienes varias estrategias, tienes la libertad de elegir la opción que sea más sencilla o más esclarecedora. Las matemáticas te equipan para buscar múltiples formas de resolver problemas.

El matemático Art Benjamin es una calculadora humana: puede multiplicar números de cinco dígitos mentalmente. Si bien esto suena impresionante, para él la diversión matemática no reside en el cálculo en sí, sino en pensar en múltiples estrategias para realizarlo fácilmente y elegir la que mejor funcione. ¹ No tengo tanta práctica como él, pero también recurro a estas habilidades para realizar cálculos. Por ejemplo, si quiero multiplicar 33 × 27 mentalmente, puedo pensar en cuatro maneras diferentes de hacerlo.

Puedo hacerlo de la manera "estándar", lo que significa tomar treinta 27 y tres 27 y sumarlos. Eso es (30 × 27) + (3 × 27) = 810 + 81 = 891. Aquí no me resulta tan fácil mantener todos los cálculos intermedios en mi cabeza.

O puedo hacerlo factorizando 27 como 3 × 9 y primero multiplicando 33 por 3, luego multiplicando ese producto por 9. Eso es (33 × 3) × 9, que es 99 × 9 = (100 × 9) − (1 × 9) = 900 − 9 = 891. Esto parece más fácil que la forma estándar.

O puedo factorizar 33 como 3 × 11 y primero multiplicar 27 por 3 (que es 81) y luego multiplicar ese producto por 11. Eso es 81 × 11, lo cual es fácil si conozco el atajo para multiplicar por 11: tomar los dígitos 8 y 1 e insertar su suma, 9, entre ellos para obtener 891.

O puedo ver que esta identidad algebraica podría ser útil: ( x − y )( x + y ) = x ² − y ² . Entonces, si reconozco que 27 = 30 − 3 y 33 = 30 + 3, entonces el producto deseado de 27 × 33 es simplemente 30 ² − 3 ² = 900 − 9 = 891.

Si alguien me pide que haga este cálculo rápidamente, miraré el carcaj de flechas que tengo y elegiré la mejor flecha para atacar este problema. Para mí, esa sería la última forma. La libertad del conocimiento nos da una gran aljaba.

La libertad de explorar

Una segunda libertad fundamental que debería estar presente en el aprendizaje de las matemáticas es la libertad de explorar . Al igual que la inmensidad de la playa —con sus conchas, sus sonidos y el tesoro que imaginamos enterrado bajo ella—, el aprendizaje de las matemáticas debería ser un espacio para la exploración, que estimule la creatividad, la imaginación y el asombro. Sin embargo, algunos métodos de enseñanza no ofrecen este tipo de libertad. Pienso en la diferencia entre cómo me enseñaron matemáticas mi madre y mi padre, un claro contraste entre obligación y exploración.

Mis padres querían que aprendiera matemáticas a una edad temprana, así que incluso antes de ir a la escuela, mi padre me enseñaba números y aritmética. Como estaba ocupado con su propio trabajo, hacía largas hojas de trabajo con problemas de suma para mantenerme ocupado. Los hice como un niño obediente, pero no los encontré muy divertidos. "Haz esto otra vez", decía. “No puedes salir a jugar hasta que aciertes todos”.

El enfoque de mi padre era una transmisión de información unidireccional. Me mostró qué hacer, pero me dejó solo para hacer las hojas de trabajo. Seguí las reglas que me enseñó para la aritmética, a menudo sin entenderlas. Aprendí a sumar números mayores que 10 “llevándolos”, pero no tenía idea de lo que estaba haciendo. Estaba siguiendo recetas. Y los elogios y las recompensas de mi padre siempre estuvieron relacionados con mi desempeño. Ahora, mi padre, con toda justicia, fue un buen padre, pero en una familia inmigrante asiático-estadounidense, podría avergonzarme por entregar algo menos que un trabajo perfecto. Eso no es libertad.

Por el contrario, el enfoque de mi madre era relacional. Jugamos juegos que fomentaban el pensamiento numérico y el reconocimiento de patrones. Se sentó conmigo y juntos leímos libros sobre cómo contar. Y los libros que leíamos también eran relacionales, llenos de asombro y deleite. Invitaron a más preguntas. Como: ¿Por qué ese personaje de Dr. Seuss tiene once dedos? Ni siquiera son cinco dedos en una mano y seis dedos en la otra, como era de esperar, ¡sino cuatro y siete! Esta extravagante extrañeza invitaba a una mayor imaginación. Con mi madre, tuve la libertad de explorar y la libertad de hacer preguntas, la libertad de tener pensamientos ridículos. Se elogiaron las preguntas y los pensamientos fantasiosos.

Esta libertad también es fundamental en las matemáticas de niveles superiores. Cuando cursaba el último año de bachillerato, asistí a una conferencia para futuros estudiantes de la Universidad de Texas en Austin. El tema era el infinito y el ponente era el profesor de matemáticas Michael Starbird. Su estilo de enseñanza era diferente a todo lo que había experimentado en el instituto. Era muy interactivo y constantemente hacía preguntas al público, como si nos invitara a explorar juntos. Nunca antes había estado en una sala con 300 personas donde todos estuvieran tan involucrados y atentos. Este tipo de interacción ejemplifica un estilo de enseñanza conocido como aprendizaje activo . Salí de la conferencia pensando: ¡Guau!, si todas las clases aquí son así, la universidad va a ser muy divertida.

Así que me matriculé en Texas. Habiendo aprobado cálculo y creyendo que era "bueno" en matemáticas, me lancé al siguiente curso. Era una clase magistral tradicional; esto significaba que el profesor daba la clase sin mucha interacción y tomábamos apuntes. El primer día, empezó a hablar de matrices, un tema que nunca había visto antes y que no figuraba en la lista de prerrequisitos del curso. (Una matriz es una disposición de números, y normalmente se trata en la siguiente clase ). Y entonces empezó a exponenciar matrices, lo que significa que tomó el número e y escribió una disposición de números como exponente. Para mí, eso fue una confusión conceptual: como pedirme que usara un aguacate para cepillarme los dientes o que metiera a mi gato en la cartera.

Miré a mi alrededor y asumí que todos los demás sabían lo que estaba pasando. Estaba intimidado, temeroso de hacer preguntas porque nadie más lo estaba y el profesor no los estaba invitando. Los símbolos volaban como si un teclado roto estuviera pegado a la fuente Symbol. Obedientemente tomé notas, pero no tenía idea de lo que estaba escribiendo. Y eso fue solo el primer día de clases. Durante todo el semestre luché por mantenerme al día, mi comprensión siempre estaba atrasada dos semanas. Eso no fue lo suficientemente rápido para ayudarme con mis deberes y exámenes, donde a menudo tenía que adivinar soluciones que no entendía. Yo era un hámster en una rueda impulsada por otra persona, temeroso de que cualquier error significara que me caería y me iría mal en mi primera clase de matemáticas en la universidad. Esto no era libertad.

La libertad de entendimiento

Esta historia pone de relieve un tercer tipo de libertad que ofrecen las matemáticas: la libertad de comprender . Aprendí que si uno pasa la vida fingiendo que entiende, siempre estará limitado por aquello que no comprende. Seguirá sintiéndose como un impostor, creyendo que todos los demás saben lo que sucede y que uno es el que no encaja. Por el contrario, la verdadera comprensión implica dedicar menos tiempo a memorizar fórmulas y procedimientos, porque todo encaja de forma coherente. La enseñanza de las matemáticas debería promover, en lugar de inhibir, esta libertad, pero como estudiantes debemos esforzarnos por alcanzar una comprensión profunda incluso cuando nuestra educación no la fomenta. Aquí reside el verdadero desafío.

Después de ese primer curso, casi no me especializo en matemáticas. Pero decidí darle una oportunidad más. Tomé un curso con un profesor que era mucho más interactivo y accesible, y comencé a sentirme más seguro nuevamente. Luego, al año siguiente, tomé una clase con Starbird. El tema de la clase era la topología: las matemáticas de estirar cosas. O, con un poco más de precisión, es el estudio de las propiedades de los objetos geométricos que no cambian cuando deformas continuamente los objetos. Por esa razón, a veces se le llama "geometría de hoja de goma". Esto significaba que hacer dibujos era muy importante en este curso, ¡mientras que los números eran casi inexistentes!

Para mi deleite, Starbird estaba enseñando en un formato de "aprendizaje basado en la investigación". No hubo conferencias. En cambio, se nos dio una lista de teoremas y se nos planteó el desafío de descubrir sus pruebas por nosotros mismos. A través de la interacción guiada con él y entre nosotros, aprendimos cómo presentar nuestras ideas y someterlas al escrutinio constructivo de los compañeros. Pero la fortaleza subyacente del curso fue cómo el profesor usó este formato para fomentar una cultura diferente en el aula. Creó un entorno en el que se elogiaban las preguntas y se agradecían las ideas inusuales. Nos estaba dando la libertad de explorar.

Las relaciones entre nosotros fueron fundamentales para nuestras exploraciones. Aprendimos en este entorno cómo proclamar, "Mi prueba es incorrecta", sin vergüenza ni juicio. De hecho, una prueba incorrecta siempre era motivo de deleite, porque significaba que estábamos viendo algo sutil y era un trampolín para una mayor investigación.

He visto a profesores fomentar este tipo de cultura también en formatos de lectura más tradicionales, usando métodos de aprendizaje activo. En tales clases, cada día puede ser como un poema de Dr. Seuss, lleno de sorpresa y asombro, donde se celebra lo fantasioso.

La libertad de imaginar

Una cuarta libertad presente en las matemáticas es la libertad de imaginar . Si la exploración consiste en buscar lo que ya existe, la imaginación consiste en construir ideas nuevas, o al menos nuevas para uno mismo. Todo niño que haya construido un castillo de arena en la playa conoce el potencial ilimitado de un cubo de arena. De manera similar, Georg Cantor, cuyo trabajo pionero a finales del siglo XIX nos dio la primera imagen clara de la naturaleza del infinito, dijo: «La esencia de las matemáticas reside precisamente en su libertad ».² ^Quería decir que, a diferencia de las ciencias, los objetos de estudio en matemáticas no están necesariamente ligados a objetos físicos particulares, y por lo tanto, los matemáticos no están limitados como otros científicos en lo que pueden estudiar. Un explorador matemático puede usar su imaginación para construir cualquier castillo matemático que desee.

Mi clase de topología enseñó la práctica de la imaginación. La topología, como mencioné anteriormente, es el estudio de las propiedades de los objetos geométricos que no cambian cuando estiras los objetos de forma continua. Si tomo un objeto y lo deformo sin introducir o quitar “agujeros”, no lo he cambiado topológicamente. Entonces, una pelota de fútbol y una pelota de baloncesto son lo mismo en topología, porque una forma se puede deformar en la otra. Por otro lado, una dona no es lo mismo que una pelota de fútbol en topología, porque no puedes convertir una pelota de fútbol en una dona sin hacerle un agujero. La topología es un tema entretenido porque podemos construir todo tipo de formas maravillosas cortando cosas, pegándolas o estirándolas de maneras extrañas.

¿Cuánto más divertido podría ser el aprendizaje matemático si, en cada etapa, tuviéramos oportunidades para usar nuestra imaginación? No necesitas estar haciendo matemáticas avanzadas para hacer esto. En aritmética, podemos intentar construir números con propiedades fantasiosas. ¿Cuál es el número más pequeño divisible por todos los dígitos de tu fecha de nacimiento? ¿Puedes encontrar 10 números seguidos que no sean primos? En geometría, podemos diseñar nuestros propios patrones y explorar su naturaleza geométrica. ¿Qué tipos de simetría existen en los patrones que te gustan? En estadística, podemos tomar un conjunto de datos y encontrar formas creativas de visualizarlo. ¿Cuáles tienen las mejores características? Si está aprendiendo matemáticas de un libro de texto aburrido, vea si puede modificar las preguntas para que aumenten sus capacidades imaginativas. Al hacerlo, estás ejerciendo tu libertad de imaginar.

La libertad de la bienvenida

Lamentablemente, las libertades previas —la libertad de conocimiento y de comprensión, la libertad de explorar y de imaginar— son difíciles de garantizar sin la última libertad: la libertad de acogida . Esta es una libertad que falta en muchas comunidades matemáticas.

Las playas, como aprendí, tienen una connotación histórica excluyente que impide que la gente, incluso hoy en día, disfrute de esos espacios. Imagina esta situación en la playa. Ya no hay un cartel que diga que no se permite el acceso, pero no vas muy a menudo porque tus padres nunca vinieron. Nadie te echa, pero recibes miradas de reojo. La gente te pregunta si querías ir a otra playa. Algunos te confunden con el personal de las duchas y piden más toallas de papel en el baño. Otros desvían la mirada y abrazan con fuerza a sus hijos cuando pasas. La gente inventa reglas aparentemente arbitrarias para ti, diciéndote que no puedes cocinar esa comida para tu picnic o jugar a ese juego en esta playa. En cambio, vas a las canchas de voleibol para un partido informal, pero nadie te invita a jugar. No esperan que sepas jugar o que quieras aprenderlo. La playa puede estar abierta para ti, pero en realidad no eres bienvenido.

Lamentablemente, las comunidades matemáticas pueden ser así. Decimos que valoramos la diversidad, pero hay trasfondos excluyentes. Considere estos ejemplos.

Su nombre es Alejandra y ha notado que en todos los libros de texto de matemáticas desde la escuela primaria, los nombres en los ejemplos genéricos son todos nombres de hombres blancos. En la escuela secundaria, se te ocurren formas novedosas de resolver problemas, pero tu maestra nunca parece interesada en otras soluciones que no sean las que conoce. Su profesor de matemáticas de la escuela secundaria está dando una conferencia y solo hace contacto visual con los niños.

Te ubicas en una clase de matemáticas avanzadas en la universidad y encuentras el trabajo desafiante, pero el profesor te anima a pasar a una clase menos avanzada en lugar de animarte a continuar. Eres un atleta universitario con un horario de práctica exigente todas las tardes, pero el profesor solo está disponible para las citas de la tarde. Un profesor llama a una prueba "trivial" y "obvia"; piensas que hay algo mal contigo porque no es trivial y obvio para ti. Señala que "a los estudiantes como usted no les suele ir bien en esta especialización". Se llevará a cabo una competencia de matemáticas; el organizador invita a todos los estudiantes de matemáticas menos a ti a las prácticas. Vienes de una cultura que valora la comunidad y la narración de historias, pero tus profesores de matemáticas hablan de matemáticas como si estuvieran completamente desprovistas de historia o cultura, y todo el trabajo asignado se debe hacer solo.

Decides ir a la escuela de posgrado en matemáticas, pero hay pocas mujeres en el programa y no hay estudiantes latinas como tú, y ciertamente no hay mujeres latinas en la facultad. Nadie sabe pronunciar tu nombre; te llaman “Alex” sin tu permiso. La sala de estudiantes de posgrado de su departamento no tiene arte ni plantas ni color; se siente estéril, y ciertamente no quieres pasar el rato allí. Los otros estudiantes parecen muy competitivos y rápidos para señalar los errores matemáticos de los demás de manera poco solidaria. Tu asesor parece no estar interesado en tu vida fuera del trabajo, incluso cuando indicas que tienes problemas con el cuidado de los niños. Sí, tomó la decisión de formar una familia en la escuela de posgrado, pero la administración parece inflexible en el manejo de eso.

Te conviertes en matemático y te entusiasma conseguir un trabajo en una universidad donde se valora la docencia, pero tus amigos en universidades de investigación te preguntan con lástima: "¿Eres feliz allí?". Cuando vas a congresos, tu baja estatura y tu tez morena hacen que a menudo te confundan con "el personal de servicio" en los hoteles de congresos. Cuando publicas artículos en colaboración, la gente siempre piensa que la otra persona hizo la mayor parte del trabajo. Así que sientes la presión de publicar artículos en solitario. Te encanta todo lo que ofrece la matemática, pero no sientes que valga la pena.

En conjunto, las experiencias de Alejandra pueden parecer agotadoras y opresivas, a pesar de que las personas involucradas pueden haber tenido las mejores intenciones y no estar al tanto de lo que estaba pasando. Colectivamente, son un uso coercitivo del poder. Alejandra no tiene la libertad de acoger. Tal vez te preguntes por qué se queda ahí.

Ser acogedor significa algo más que permitir que las personas convivan. Significa extender una invitación de bienvenida, decir: “Perteneces” y continuar con acciones de apoyo. Significa mantener altas expectativas y brindar un alto apoyo.

Las expectativas pueden influir en el rendimiento académico de un estudiante. Existe una amplia investigación sobre los "efectos de las expectativas", que demuestra que las expectativas del profesor pueden afectar el aprendizaje de los alumnos. El estudio más conocido es el de Rosenthal-Jacobson de 1966, en el que se les administró a los estudiantes una prueba de aptitud ficticia y se les indicó a sus profesores qué alumnos se esperaba que "sobresalieran" (cuando en realidad los supuestos buenos alumnos fueron seleccionados al azar). Durante el año siguiente, esos alumnos obtuvieron mejores resultados que sus compañeros^.

Este es un cautiverio silencioso de expectativas. Mantiene cautivos tanto al estudiante como al maestro. Los maestros están atados por una imaginación limitada del potencial de un estudiante. Los estudiantes están atados a la idea de alguien más de quiénes pueden ser, y no tienen la libertad de ser libres. Una libertad de bienvenida diría: “Creo que puedes tener éxito y te ayudaré a llegar allí”.

En su libro *Enseñar a transgredir* , bell hooks narra su experiencia como estudiante en una escuela exclusivamente para estudiantes negros en la América segregada. Elogia a los maestros que se dedicaron a ayudar a los estudiantes a alcanzar su máximo potencial.

Para cumplir esa misión, mis maestros se aseguraron de “conocernos”. Conocían a nuestros padres, nuestra situación económica, dónde rendíamos culto, cómo eran nuestros hogares y cómo nos trataban en la familia...

Ir a la escuela entonces era una alegría inmensa. Me encantaba ser estudiante. Me encantaba aprender... Ser transformado por las ideas era un placer puro... Podía..., a través de las ideas, reinventarme. ⁴

Puedes escuchar cómo esos maestros practicaban la libertad de acogida. Llegaron a saber todo sobre sus hijos, no solo su rendimiento académico. La educación de estos estudiantes estaba arraigada en la comunidad. Debido a la libertad de bienvenida, Hooks tenía otras libertades: la libertad de explorar ideas y la libertad de imaginar una nueva identidad para sí misma.

Por el contrario, después de que se integraron las escuelas y ella cambió de escuela,

el conocimiento era de repente sólo información. No tenía relación con la forma en que uno vivía, se comportaba... Pronto aprendimos que lo que se esperaba de nosotros era obediencia, y no una ferviente voluntad de aprender...

Para los niños negros, la educación ya no se trataba del ejercicio de la libertad. Al darme cuenta de esto, perdí mi amor por la escuela. ⁵

La playa ahora estaba abierta, pero no había bienvenida, ni comunidad ni hospitalidad. Hooks estaba cautiva de las expectativas: siempre sentía que tenía que demostrar su valía. Tenía miedo de que si hablaba, sería percibida como si se saliera de los límites. La educación se sentía como una dominación. Sin la libertad de la acogida, perdió todas las demás libertades.

Para ser claros: no estoy abogando por la segregación. Estoy diciendo que la verdadera bienvenida debe implicar una verdadera libertad, especialmente cuando esa libertad ha sido negada en el pasado.

Estas libertades en matemáticas se asocian con varias virtudes. La libertad de conocimiento conduce a la virtud del ingenio . Podemos usar las herramientas que conocemos y adaptarlas para resolver nuestros problemas. Tener la libertad de explorar fomenta la valentía para hacer preguntas y el pensamiento independiente , cuando no nos avergüenza expresar nuestras ideas en voz alta y experimentamos la alegría del descubrimiento. También nos enseña a ver los contratiempos como trampolines , ya que aprendemos a no descartar simplemente las ideas erróneas, sino a explorar cómo pueden llevarnos a buenas respuestas o impulsarnos hacia nuevas áreas de investigación. La libertad de comprensión fortalece nuestra confianza en el conocimiento , porque la comprensión construye una base sólida de hechos unidos por el significado y la intuición. Y la libertad de imaginar fomenta las virtudes de la inventiva y la alegría , porque esa libertad nos da espacio para explorar y deleitarnos con todas las cosas increíbles que nuestra mente pueda concebir.

Cuando encontré dificultades en la escuela de posgrado, sintiéndome mal preparado y fuera de lugar, con profesores que cuestionaban mi capacidad para tener éxito, estas virtudes me rescataron. Sabía que tenía los comienzos de las habilidades de investigación, porque había experimentado el pensamiento independiente. Me apoyé en mi valentía al hacer preguntas para hablar cuando no entendía. Conocí la alegría de crear matemáticas para mí mismo. Y la confianza en el conocimiento que ya tenía me ayudó a confiar en que eventualmente me pondría al día, a través de un esfuerzo serio y trabajo duro.

La libertad es un ingrediente crucial para aprender y hacer matemáticas, por lo que debemos considerar qué implica la libertad. Sé que algunas personas definen la libertad como “la ausencia de restricciones”, como si significara “haz lo que quieras”. No creo que eso sea la verdadera libertad.

La verdadera libertad nunca viene sin costo, relación o responsabilidad. Piensa en ese maestro que invirtió su tiempo y energía en ti, te dio el espacio para hacer preguntas y te mostró cómo explorar la playa e imaginar los castillos que podrías construir. Piensa en ese padre que proporcionó todos los recursos que tenía para que pudieras llegar a la playa y te inculcó la determinación de superar cualquier obstáculo. Piensa en la verdadera bienvenida que te brindaron algunos, ayudándote a entrar, la bienvenida que requirió verdadera energía y cuidado. Y piensa en el costo de tu propio compromiso de invertir en un tema que es profundo, amplio y hermoso, para que ahora tengas la libertad de florecer en esa playa de formas que nunca podrías tener de otra manera.

Aquellos de nosotros que hemos experimentado las libertades de las matemáticas tenemos la gran responsabilidad de dar la bienvenida a otros a esas libertades también.

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Francis Su, catedrático Benediktsson-Karwa de Matemáticas en el Harvey Mudd College y expresidente de la Asociación Matemática de América, siente una gran pasión por la enseñanza y la divulgación de las matemáticas. La Asociación Matemática de América le otorgó el Premio Haimo 2013 por su destacada labor docente y el Premio Halmos-Ford 2018 por sus escritos. Este artículo es un extracto de «Matemáticas para el florecimiento humano» de Francis Su, © 2020, con autorización de Yale University Press. Todos los derechos reservados.

Este atajo para multiplicar por 11 requiere un acarreo si la suma de los dígitos es 10 o más. Por ejemplo, para calcular 75 × 11, debes sumar 7 y 5 para obtener 12, colocar el 2 entre el 7 y el 5, y luego llevar el 1 sumándolo al 7 para obtener 8. Por lo tanto, la respuesta es 825. Si sabes algo de álgebra, puedes usarla para mostrar por qué funciona el atajo: el número 10a + b es el número con dígitos a y b. Entonces (10a + b ) × 11 = 110a + 11b = 100a + 10( a + b ) + b . Esta última expresión sugiere sumar los dos dígitos y colocar su suma entre ellos. ( volver al artículo )

Notas finales

1. Para conocer algunos de sus atajos, consulte A. Benjamin y M. Shermer, Secretos del cálculo mental (Nueva York: Three Rivers, 2006).
2. G. Cantor, "Fundamentos de una teoría general de variedades: una investigación matemático-filosófica sobre la teoría del infinito", trad. W.Ewald, en De Kant a Hilbert: un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas, vol. 2, ed. W. Ewald (Nueva York: Oxford University Press, 1996), 896. Cursiva en el original.
3. R. Rosenthal y L. Jacobson, "Expectativas de los maestros: determinantes de las ganancias del coeficiente intelectual de los alumnos" Informes psicologicos 19 (1966): 115–18. Vale la pena señalar que este estudio ha suscitado controversia. Se puede encontrar un relato interesante de este estudio, que incluye críticas y estudios de seguimiento, en K. Ellison, "Being Honest About the Pygmalion Effect", Descubre, Octubre 29, 2015, go.aft.org/wr7.
4. segundo manos, Enseñar a transgredir: la educación como práctica de la libertad (Nueva York: Routledge, 1994), 3.
5. ganchos, Enseñar a transgredir.

[Ilustraciones de John Jay Cabuay]