Desarrollando mentalidades matemáticas

 

BA los bebés y los niños les encantan las matemáticas. Dele a los bebés un conjunto de bloques, y los construirán y ordenarán, fascinados por la forma en que se alinean los bordes. Los niños mirarán al cielo y se deleitarán con las formaciones en V en las que vuelan las aves. Cuente un conjunto de objetos con un niño pequeño y luego mueva los objetos y vuelva a contarlos, y quedarán encantados por el hecho de que todavía tienen el mismo número. Pídales a los niños que hagan patrones con bloques de colores, y trabajarán felices haciendo patrones repetitivos, uno de los actos más matemáticos. El matemático Keith Devlin ha escrito una serie de libros que muestran una fuerte evidencia de que todos somos usuarios y pensadores de las matemáticas naturales.¹ Queremos ver patrones en el mundo y comprender los ritmos del universo. Pero la alegría y la fascinación que experimentan los niños pequeños con las matemáticas se reemplazan rápidamente por temor y disgusto cuando comienzan las matemáticas escolares y se les presenta un conjunto seco de métodos que creen que solo tienen que aceptar y recordar.

En Finlandia, uno de los países con la puntuación más alta del mundo en las pruebas PISA (Programa para la Evaluación Internacional de Estudiantes), los estudiantes no aprenden métodos matemáticos formales hasta que tienen 7 años. En los Estados Unidos, los estudiantes comienzan mucho antes, y para cuando son 7, ya se les han introducido algoritmos para sumar, restar, multiplicar y dividir números, y se les hizo memorizar las tablas de multiplicar. Para muchos estudiantes, su primera experiencia en matemáticas es de confusión, ya que los métodos no tienen sentido para ellos. La curiosidad de los primeros años de nuestros hijos se desvanece y es reemplazada por una fuerte creencia de que las matemáticas se trata de seguir instrucciones y reglas.

El mejor y más importante comienzo que podemos dar a nuestros estudiantes es alentarlos a jugar con números y formas, pensando qué patrones e ideas pueden ver. En su autobiografía, Sarah Flannery, quien ganó el Premio Joven Científico del Año de Europa en 1999 por inventar un nuevo algoritmo matemático, habla sobre la forma en que desarrolló su pensamiento matemático al trabajar en rompecabezas en casa con su padre, y cómo estos rompecabezas eran más importante para ella que todos sus años de clase de matemáticas.²

Los usuarios matemáticos exitosos tienen un enfoque matemático, así como una comprensión matemática que los distingue de los usuarios menos exitosos. Se acercan a las matemáticas con el deseo de comprenderlas y pensarlas, y con la confianza de que pueden entenderlas. Los usuarios matemáticos exitosos buscan patrones y relaciones y piensan en las conexiones. Se acercan a las matemáticas con un mentalidad matemática, sabiendo que las matemáticas son un tema de crecimiento y que su función es aprender y pensar sobre nuevas ideas. Necesitamos inculcar esta mentalidad matemática en los estudiantes desde sus primeras experiencias de matemáticas.

La investigación ha demostrado definitivamente la importancia de una mentalidad de crecimiento: la creencia de que la inteligencia crece y que cuanto más aprendes, más caminos matemáticos desarrollas. Pero para borrar el fracaso matemático, necesitamos que los estudiantes tengan creencias de crecimiento sobre sí mismos y los acompañen con creencias de crecimiento sobre la naturaleza de las matemáticas y su papel en relación con ellas. Los niños necesitan ver las matemáticas como un tema conceptual de crecimiento en el que deberían pensar y tener sentido.

Cuando los estudiantes ven las matemáticas como una serie de preguntas cortas, no pueden ver el papel de su propio crecimiento y aprendizaje interno. Piensan que las matemáticas son un conjunto fijo de métodos que obtienen o no obtienen. Pero cuando los estudiantes ven las matemáticas como un amplio paisaje de acertijos inexplorados en los que pueden deambular, hacer preguntas y pensar en las relaciones, entienden que su papel es pensar, dar sentido y crecer. Cuando los estudiantes ven las matemáticas como un conjunto de ideas y relaciones, y su papel como pensar en las ideas y darles sentido, tienen una mentalidad matemática.

Entonces, ¿cómo desarrollamos mentalidades matemáticas en los estudiantes para que estén dispuestos a abordar las matemáticas con sentido e intuición? Antes de comenzar la escuela, la tarea es sencilla. Significa pedirles a los niños que jueguen con rompecabezas, formas y números y que piensen en sus relaciones.

Pero en los primeros años de la escuela, vivimos en un sistema por el cual los estudiantes deben, desde una edad temprana, aprender muchos métodos matemáticos formales, como los que se usan para sumar, restar, dividir y multiplicar números. Este es el momento en que los estudiantes se desvían de la mentalidad matemática y desarrollan mentalidades de procedimiento fijas. Este es el momento en que es más crítico que los maestros y los padres introduzcan las matemáticas como un tema conceptual flexible que se trata de pensar y dar sentido. El dominio del trabajo numérico temprano nos da el ejemplo perfecto de las dos mentalidades que pueden desarrollarse en los estudiantes, una que es negativa y conduce al fracaso y otra que es positiva y conduce al éxito.

Sentido de los números

 

En un importante estudio de investigación, dos investigadores británicos trabajaron con estudiantes, de edades comprendidas entre 7 y 13, que habían sido nominados por sus maestros como de bajo, medio o alto rendimiento.³ Todos los estudiantes recibieron problemas numéricos, como sumar o restar dos números. Los investigadores encontraron una diferencia importante entre los estudiantes de bajo y alto rendimiento. Los estudiantes de alto rendimiento resolvieron las preguntas utilizando lo que se conoce como sentido numérico: interactuaron con los números de manera flexible y conceptual. Los estudiantes de bajo rendimiento no utilizaron el sentido numérico y parecían creer que su función era recordar y usar un método estándar, incluso cuando esto era difícil de hacer.

Por ejemplo, cuando a los estudiantes se les dio un problema como 21 − 6, los estudiantes de alto rendimiento facilitaron el problema al cambiarlo a 20 − 5, pero los estudiantes de bajo rendimiento contaron hacia atrás, comenzando en 21 y contando hacia atrás, que es difícil de hacer y propenso a errores. Después de un extenso estudio de las diferentes estrategias que los estudiantes usaron, los investigadores concluyeron que la diferencia entre los estudiantes de alto y bajo rendimiento no era que los estudiantes de bajo rendimiento supieran menos matemáticas, sino que estaban interactuando con las matemáticas de manera diferente. En lugar de acercarse a los números con flexibilidad y sentido numérico, parecían aferrarse a los procedimientos formales que habían aprendido, usándolos con mucha precisión, sin abandonarlos incluso cuando tenía sentido hacerlo. Los de bajo rendimiento no lo hicieron saber menos, simplemente no usaron los números de manera flexible, probablemente porque se habían establecido en el camino equivocado, desde una edad temprana, de tratar de memorizar métodos y hechos de números en lugar de interactuar con los números de manera flexible.⁴

Los investigadores señalaron algo más importante: las matemáticas que usaban los de bajo rendimiento eran matemáticas más difíciles. Es mucho más fácil restar 5 de 20 que comenzar en 21 y contar los números 6. Desafortunadamente para los estudiantes de bajo rendimiento, a menudo se los identifica como que luchan con las matemáticas y, por lo tanto, se les da más ejercicio y práctica, consolidando sus creencias de que el éxito matemático significa memorizar métodos, no comprender y dar sentido a las situaciones. Son enviados por un camino perjudicial que los hace aferrarse a procedimientos formales y, como resultado, a menudo enfrentan dificultades de por vida con las matemáticas.

Una mentalidad matemática refleja un enfoque activo del conocimiento matemático, en el que los estudiantes ven su papel como comprensión y sentido. El sentido numérico refleja una comprensión profunda de las matemáticas, pero se produce a través de una mentalidad matemática que se centra en dar sentido a los números y las cantidades. Es útil pensar en las formas en que se desarrolla el sentido numérico en los estudiantes, no solo porque el sentido numérico es la base de todas las matemáticas de nivel superior⁵ pero también porque el sentido numérico y la mentalidad matemática se desarrollan juntos, y aprender sobre formas de desarrollar uno ayuda al desarrollo del otro.

La matemática es un dominio conceptual. No es, como mucha gente piensa, una lista de hechos y métodos para recordar. Cuando los estudiantes aprenden a contar, recuerdan el orden y los nombres de los números, pero también desarrollan el concepto de número; es decir, la idea de un número. En las primeras etapas de aprendizaje para sumar números, los estudiantes aprenden un método llamado "contar". Contar se utiliza cuando tiene dos conjuntos de números, por ejemplo, 15 más 4, y aprende a contar el primer conjunto (contar hasta 15), luego continúe contando (16, 17, 18, 19). Cuando los estudiantes aprenden el método de contar, desarrollan el concepto de "suma". Este no es un método de suma; Es una idea conceptual.

En la siguiente etapa de su trabajo matemático, los estudiantes pueden aprender a agregar grupos de números, como tres grupos de 4, y a medida que aprenden a agregar grupos, desarrollan el concepto de un producto. Nuevamente, este no es un método (de multiplicación); Es una idea conceptual. Las ideas de un número, una suma y un producto son conceptos matemáticos en los que los estudiantes deben pensar profundamente. Los estudiantes deben aprender métodos, como sumar y multiplicar, no como fines en sí mismos, sino como parte de una comprensión conceptual de números, sumas y productos y cómo se relacionan entre sí.

Sabemos que cuando aprendemos matemáticas, participamos en un proceso cerebral llamado "compresión". Cuando aprendes una nueva área de las matemáticas de la que no sabes nada, ocupa un gran espacio en tu cerebro, ya que debes pensar mucho cómo funciona y cómo las ideas se relacionan con otras ideas. Pero las matemáticas que has aprendido antes y que conoces bien, como la suma, ocupan un espacio pequeño y compacto en tu cerebro. Puede usarlo fácilmente sin pensarlo. El proceso de compresión ocurre porque el cerebro es un órgano altamente complejo con muchas cosas que controlar, y puede enfocarse solo en unas pocas ideas sin comprimir a la vez. Las ideas que se conocen bien se comprimen y archivan. William Thurston, un destacado matemático que ganó la Medalla Fields, describe la compresión de esta manera:

La matemática es increíblemente comprimible: es posible que te cueste mucho tiempo, paso a paso, trabajar el mismo proceso o idea desde varios enfoques. Pero una vez que realmente lo entiendes y tienes la perspectiva mental para verlo como un todo, a menudo hay una tremenda compresión mental. Puede archivarlo, recuperarlo rápida y completamente cuando lo necesite, y usarlo como solo un paso en algún otro proceso mental. La idea que acompaña a esta compresión es una de las verdaderas alegrías de las matemáticas.⁶

Muchos estudiantes no describen las matemáticas como una "verdadera alegría", en parte porque no se dedican a la compresión. Notablemente, el cerebro solo puede comprimir conceptos; No puede comprimir reglas y métodos. Por lo tanto, los estudiantes que no participan en el pensamiento conceptual y, en cambio, abordan las matemáticas como una lista de reglas para recordar, no participan en el proceso crítico de compresión, por lo que su cerebro no puede organizar ni archivar ideas; en cambio, lucha por mantener largas listas de métodos y reglas. Por eso es tan importante ayudar a los estudiantes a abordar las matemáticas conceptualmente en todo momento. Acercarse a las matemáticas conceptualmente es la esencia de lo que describo como una mentalidad matemática.

¿Qué pasa con los datos matemáticos?

 

Muchas personas creen que no es posible pensar conceptualmente sobre las matemáticas todo el tiempo porque hay muchos hechos matemáticos (como 8 x 4 = 32) que deben memorizarse. Hay algunos hechos matemáticos que es bueno recordar, pero los estudiantes pueden aprender hechos matemáticos y guardarlos en la memoria a través del compromiso conceptual con las matemáticas. Desafortunadamente, algunos maestros y padres piensan que debido a que algunas áreas de las matemáticas son fácticas, como los hechos numéricos, necesitan ser aprendidas a través de prácticas sin sentido y ejercicios de velocidad. Es este enfoque para el aprendizaje temprano sobre los números lo que causa daño a los estudiantes, les hace pensar que tener éxito en matemáticas es recordar los hechos a la velocidad y los empuja a una vía procesal que va en contra de su desarrollo de una mentalidad matemática.

Los datos matemáticos en sí mismos son una pequeña parte de las matemáticas, y se aprenden mejor mediante el uso de números de diferentes maneras y situaciones. Desafortunadamente, muchas aulas se centran en los hechos matemáticos de manera aislada, dando a los estudiantes la impresión de que los hechos matemáticos son la esencia de las matemáticas y, lo que es peor, que dominar el rápido recuerdo de los hechos matemáticos es lo que significa ser un estudiante fuerte de matemáticas. Ambas ideas están equivocadas y es fundamental que las eliminemos de las aulas, ya que desempeñan un papel clave en la creación de estudiantes ansiosos por las matemáticas y desafectos.

Crecí en una era progresiva en Inglaterra, cuando las escuelas primarias se centraron en el "niño completo", y no se me presentaron tablas de sumas, restas o multiplicaciones para memorizar en la escuela. Nunca he memorizado hechos matemáticos, aunque puedo producir rápidamente cualquier hecho matemático, ya que tengo sentido numérico y he aprendido buenas maneras de pensar en combinaciones numéricas. Mi falta de memorización nunca me ha frenado en ningún momento o lugar en mi vida, a pesar de que soy profesor de matemáticas, porque tengo sentido numérico, que es mucho más importante para que los estudiantes aprendan e incluye el aprendizaje de hechos matemáticos junto con Una comprensión profunda de los números y las formas en que se relacionan entre sí.

Para aproximadamente un tercio de los estudiantes, el inicio de las pruebas cronometradas es el comienzo de la ansiedad matemática.⁷* La científica cognitiva Sian Beilock y sus colegas han estudiado los cerebros de las personas a través de imágenes de resonancia magnética y descubrieron que los datos matemáticos se encuentran en la sección de memoria de trabajo del cerebro. Pero cuando los estudiantes están estresados, como cuando responden preguntas de matemáticas bajo presión de tiempo, la memoria de trabajo se ve comprometida y los estudiantes no pueden acceder a los datos de matemáticas que conocen.⁸ Cuando los estudiantes se dan cuenta de que no pueden desempeñarse bien en las pruebas cronometradas, comienzan a desarrollar ansiedad y su confianza matemática se erosiona. El bloqueo de la memoria de trabajo y la ansiedad asociada es particularmente común entre los estudiantes y las niñas con mayor rendimiento. Las estimaciones conservadoras sugieren que al menos un tercio de los estudiantes experimentan un estrés extremo relacionado con las pruebas cronometradas, y estos no son estudiantes de ningún grupo de logros o antecedentes económicos en particular. Cuando sometemos a los estudiantes a esta experiencia que provoca ansiedad, perdemos estudiantes de las matemáticas.

 

La ansiedad matemática ahora se ha registrado en estudiantes tan jóvenes como 5, y las pruebas cronometradas son una causa importante de esta condición debilitante, a menudo de por vida. En mis clases en la Universidad de Stanford, me encuentro con muchos estudiantes universitarios que han sido traumatizados por las matemáticas, a pesar de que se encuentran entre los estudiantes con mejores resultados en el país. Cuando les pregunto qué les llevó a su aversión matemática, muchos hablan de las pruebas cronometradas en segundo o tercer grado como un punto de inflexión importante cuando decidieron que las matemáticas no eran para ellos. Algunos de los estudiantes, especialmente las mujeres, hablan sobre la necesidad de comprender profundamente (un objetivo que vale la pena) y se les hace sentir que no se valoraba ni ofrecía una comprensión profunda cuando las pruebas cronometradas se convirtieron en parte de la clase de matemáticas. Es posible que hayan estado haciendo otro trabajo más valioso en sus clases de matemáticas, enfocándose en la comprensión y la comprensión de los sentidos, pero las pruebas cronometradas evocan emociones tan fuertes que los estudiantes pueden llegar a creer que ser rápido con los datos matemáticos es la esencia de las matemáticas. Esto es extremadamente desafortunado.

Vemos el resultado del énfasis equivocado de la escuela en la memorización y las pruebas en el número de estudiantes que abandonan las matemáticas y en la crisis matemática que enfrentamos actualmente. Cuando mi propia hija comenzó a memorizar la tabla de tiempos y las pruebas a la edad de 5, comenzó a volver a casa y llorar por las matemáticas. Esta no es la emoción que queremos que los estudiantes asocien con las matemáticas, pero mientras sigamos presionando a los estudiantes para que recuerden los hechos a toda velocidad, no borraremos la ansiedad generalizada y el disgusto de las matemáticas que impregna nuestras escuelas.⁹

Entonces, ¿qué hacemos para ayudar a los estudiantes a aprender datos matemáticos si no utilizamos las pruebas cronometradas? La mejor manera de fomentar el aprendizaje de hechos y el desarrollo de una mentalidad matemática es ofrecer actividades matemáticas conceptuales que ayuden a los estudiantes a aprender y comprender números y hechos numéricos. Los investigadores del cerebro estudiaron a los estudiantes que aprendían las operaciones matemáticas de dos maneras. Un enfoque fue a través de estrategias; por ejemplo, aprender 17 x 8 trabajando 17 x 10 (170) y restando 17 x 2 (34). El otro enfoque fue a través de la memorización de hechos (17 x 8 = 136). Descubrieron que los dos enfoques (estrategias y memorización) involucran dos vías distintas en el cerebro y que ambas vías son perfectamente buenas para el uso de por vida. Sin embargo, lo importante es que el estudio también encontró que aquellos que aprendieron a través de estrategias lograron un "rendimiento superior" sobre aquellos que memorizaron; resolvieron las preguntas del examen a la misma velocidad y mostraron una mejor transferencia a nuevos problemas. Los investigadores del cerebro concluyeron que la automaticidad debería alcanzarse mediante la comprensión de las relaciones numéricas, logradas mediante el pensamiento sobre estrategias numéricas.¹⁰

En otro estudio importante, los investigadores descubrieron que el aprendizaje más poderoso ocurre cuando usamos diferentes vías en el cerebro.¹¹ El lado izquierdo del cerebro maneja información objetiva y técnica; el lado derecho maneja la información visual y espacial. Los investigadores descubrieron que el aprendizaje y el rendimiento matemático se optimizan cuando los dos lados del cerebro se comunican.¹² Los investigadores también descubrieron que cuando los estudiantes trabajaban en problemas aritméticos, como la resta, los que obtuvieron mejores resultados fueron aquellos que exhibieron las conexiones más fuertes entre los dos lados del cerebro. Las implicaciones de este hallazgo son extremadamente importantes para el aprendizaje de las matemáticas, ya que nos dicen que el aprendizaje de las matemáticas abstractas formales que componen gran parte del currículo escolar mejora cuando los estudiantes usan el pensamiento matemático visual e intuitivo.

En "Fluidez sin miedo", un artículo publicado por Youcubed, el grupo de investigación que lidero, incluimos esta evidencia y actividades que los maestros y los padres pueden usar para habilitar las conexiones cerebrales importantes. Uno de los juegos de matemáticas que incluimos en el documento se hizo muy popular después de su lanzamiento y se tuiteó en todo el mundo.

El juego se llama "¿Qué tan cerca de 100?". Cada estudiante juega con su propia hoja de juego, que es una cuadrícula de 100 en blanco (ver Figura 1). Para comenzar, el primer jugador tira dos dados, y los números que aparecen son los números que el estudiante usa para hacer una matriz rectangular en cualquier lugar de la cuadrícula. El objetivo es ser la primera persona en llenar la cuadrícula 10 x 10. Los estudiantes también completan oraciones numéricas después de cada rollo. El juego termina cuando un jugador llena su cuadrícula. (Vea un video corto de estudiantes jugando el juego esta página.) En este juego, los estudiantes aprenden datos numéricos, como 4 x 6, pero también hacen algo mucho más importante. Están pensando en el significado de los hechos numéricos y en lo que representa 4 x 6, visual y espacialmente.

 

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Otro juego que fomenta las mismas conexiones cerebrales poderosas toma la idea de las tarjetas de matemáticas, que a menudo se usan de manera perjudicial, como las "tarjetas flash" de taladro y velocidad, y las usa de manera muy diferente. Nuestras tarjetas de matemáticas representan números de varias maneras. Por ejemplo, 9 y 4 se pueden mostrar con un modelo de área, conjuntos de objetos como dominó y una oración numérica (ver Figura 2). El objetivo del juego es hacer coincidir las cartas con el mismo total, mostradas a través de diferentes representaciones, sin presión de tiempo. Los maestros colocan todas las tarjetas sobre una mesa y les piden a los estudiantes que se turnen para recogerlas. Escogen tantos como pueden con el mismo total, que se muestra a través de cualquier representación, y luego explican cómo saben que las diferentes tarjetas son equivalentes.

 

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Esta actividad nuevamente se enfoca en comprender la multiplicación, visual y espacialmente, alentando las conexiones cerebrales al mismo tiempo que ensayando datos matemáticos. El juego también se puede jugar con las cartas boca abajo como un juego de memoria para agregar un desafío adicional.^†

Estas actividades enseñan el sentido numérico y una mentalidad matemática y fomentan la comunicación entre las vías cerebrales. La antítesis de este enfoque es un enfoque en la memorización de memoria y la velocidad. Cuanto más enfatizamos la memorización para los estudiantes, menos dispuestos están a pensar en los números y sus relaciones y a usar y desarrollar el sentido numérico.¹³ Algunos estudiantes no son tan buenos para memorizar datos matemáticos como otros. Eso es algo para celebrar; Es parte de la maravillosa diversidad de la vida y las personas. Imagínese lo horrible que sería si los maestros hicieran pruebas de hechos matemáticos y todos los respondieran de la misma manera y a la misma velocidad, como si todos fueran robots.

En un reciente estudio del cerebro, los científicos examinaron los cerebros de los estudiantes mientras se les enseñaba a memorizar datos matemáticos. Vieron que algunos estudiantes los memorizaban mucho más fácilmente que otros. Esto no sorprenderá a los lectores, y muchos de nosotros probablemente asumiríamos que aquellos que memorizaron mejor fueron estudiantes de mayor rendimiento o "más inteligentes". Pero los investigadores descubrieron que los estudiantes que memorizaban más fácilmente no tenían un mayor rendimiento; no tenían lo que los investigadores describieron como más "habilidad matemática", ni tenían puntajes de CI más altos.¹⁴ Las únicas diferencias que encontraron los investigadores estaban en una región del cerebro llamada hipocampo, el área del cerebro responsable de los hechos memorizados. El hipocampo, como otras regiones del cerebro, no está fijo y puede crecer en cualquier momento,¹⁵ pero siempre será el caso de que algunos estudiantes sean más rápidos o más lentos al memorizar, y esto no tiene nada que ver con el potencial matemático.

IPara aprender a ser un buen estudiante de inglés y para leer y comprender novelas y poesía, los estudiantes deben haber memorizado el significado de muchas palabras. Pero ningún estudiante de inglés diría o pensaría que aprender inglés se trata de memorizar y recordar palabras rápidamente. Esto se debe a que aprendemos palabras al usarlas en muchas situaciones diferentes: hablar, leer y escribir. Los profesores de inglés no les dan a los estudiantes cientos de palabras para memorizar y luego las prueban en condiciones cronometradas.

Todas las asignaturas requieren la memorización de algunos hechos, pero las matemáticas son la única asignatura en la que a los estudiantes se les realizan pruebas frecuentes desde una edad temprana. ¿Por qué tratamos las matemáticas de esta manera? Tenemos la evidencia de la investigación que muestra que los estudiantes pueden aprender datos matemáticos de manera mucho más poderosa con actividades interesantes; ahora es el momento de usar esta evidencia y liberar a los estudiantes del miedo a las matemáticas.

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Jo Boaler es profesor de educación matemática en la Universidad de Stanford. Autora de numerosos libros y artículos de investigación, es directora de la facultad de Youcubed. Este artículo está extraído con permiso del editor, Jossey-Bass / Wiley, de Mentalidades matemáticas: liberar el potencial de los estudiantes a través de matemáticas creativas, mensajes inspiradores y enseñanza innovadora, por Jo Boaler. Copyright (c) 2015 de Jo Boaler. Todos los derechos reservados. Este libro está disponible donde se venden libros y libros electrónicos.

* Para más información sobre la ansiedad matemática, consulte "¿Tiene ansiedad matemática ?: aquí le mostramos cómo no transmitirla a su hijo." (volver al artículo)
^†Un juego completo de tarjetas de matemáticas y otros recursos gratuitos están disponibles. esta página. (volver al artículo)

Notas finales

1 Ver, por ejemplo, Keith Devlin, El instinto matemático: por qué eres un genio matemático (junto con langostas, pájaros, gatos y perros) (Nueva York: Basic Books, 2006).

2 Sarah Flannery y David Flannery, En Código: Un viaje matemático (Nueva York: Workman Publishing, 2002).

3 Eddie M. Gray y David O. Tall, "Dualidad, ambigüedad y flexibilidad: una visión" conceptual "de la aritmética simple" Revista de Investigación en Educación Matemática 25, no. 2 (1994): 116-140.

4 Jo Boaler ¿Qué tienen que ver las matemáticas con esto ?: Cómo los maestros y los padres pueden transformar el aprendizaje de las matemáticas e inspirar el éxito (Nueva York: Penguin Books, 2015).

5 David Feikes y Keith Schwingendorf, "La importancia de la compresión en el aprendizaje infantil de las matemáticas y el aprendizaje de los maestros para enseñar matemáticas" Revista Mediterránea de Investigación en Educación Matemática 7, no. 2 (2000).

6 William P. Thurston, "Educación matemática" Avisos de la American Mathematical Society 37, no. 7 (1990): 844-850.

7 Jo Boaler, "Fluidez sin miedo: evidencia de investigación sobre las mejores maneras de aprender datos matemáticos", Youcubed (Stanford, CA: Universidad de Stanford, 2014), www.youcubed.org/wp-content/uploads/2015/03/FluencyWithoutFear-2015.pdf.

8 Sian L. Beilock, Choke: Lo que revelan los secretos del cerebro sobre cómo hacerlo bien cuando tienes que hacerlo (Nueva York: Free Press, 2011).

9 Elena Silva y Taylor White, "Caminos hacia la mejora: uso de estrategias psicológicas para ayudar a los estudiantes universitarios a dominar las matemáticas del desarrollo" (Stanford, CA: Fundación Carnegie para el avance de la enseñanza, 2013).

10 Margaret Delazer et al., "Aprendizaje por estrategias y aprendizaje por ejercicio: evidencia de un estudio fMRI" NeuroImage 25, no. 3 (Abril 15, 2005): 839-849.

11 Joonkoo Park y Elizabeth M. Brannon, "Entrenar el sistema numérico aproximado mejora la competencia matemática" Asociación para la ciencia psicológica (2013):-1 7.

12 Park y Brannon, "Entrenamiento del sistema numérico aproximado".

13 Boaler ¿Qué tienen que ver las matemáticas con eso??

14 Kaustubh Supekar et al., "Predictores neuronales de las diferencias individuales en respuesta a la tutoría matemática en niños de primaria de primaria" Actas de la Academia Nacional de Ciencias 110, no. 20 (2013): 8230-8235.

15 Una ilustración famosa de cómo puede crecer la región cerebral del hipocampo se ilustra en el estudio de los taxistas de London Black Cab. Para más información sobre este estudio, ver Katherine Woollett y Eleanor A. Maguire, "Adquirir 'el conocimiento' del diseño de Londres impulsa los cambios cerebrales estructurales" Current Biology 21, no. 24 (2011): 2109-2114.