Lo que aprendí en la escuela primaria

Por Ron Aharoni

Un amigo mío dejó una carrera de alta tecnología en la mitad de la vida para trabajar en educación matemática. En septiembre 2000, justo antes de que comenzara el año escolar, me llamó: hay un proyecto para promover la educación matemática en las escuelas primarias; Únete. El proyecto estaba en una ciudad en desarrollo llamada Maalot, en el extremo norte de Israel. (Las ciudades de desarrollo israelíes, construidas en los 1950 para asentar nuevos inmigrantes, generalmente se consideran bastante atrasadas).

Soy un matemático profesional y, aunque he estado muy interesado en la enseñanza (que es la razón por la que mi amigo tuvo la idea de ofrecerme el trabajo), no había pisado una escuela primaria desde que era un niño. Así que consulté a quien pude. El consejo que recibí fue uniforme: no lo hagas. La educación matemática elemental es una profesión en sí misma. No hay conexión entre esto y enseñar matemáticas a nivel universitario.

En retrospectiva, la sobriedad debería haber dictado escuchar este consejo. Sin embargo, si hubiera escuchado, me habría perdido una de las aventuras más fascinantes de mi vida.

La pancarta que llevaba en ese momento era la de "experiencia". Los niños deberían experimentar conceptos abstractos concretamente, pensé, después de lo cual las abstracciones deberían ocurrir por sí mismas. Llevé a los niños al patio de recreo. Medimos longitudes de sombras y las comparamos con las longitudes de los objetos mismos, luego usamos esta información para calcular la altura de los árboles de acuerdo con sus sombras. (Esta idea fue tomada de Thales, quien nació en el siglo 7 aC*) Luego medimos la longitud y el ancho del aula de varias maneras para encontrar cuántas baldosas caben en un metro cuadrado y cuál era la relación entre la longitud del aula en metros y su longitud en baldosas.

Aprendí el precio de la presunción de la manera difícil: la mayoría de mis lecciones fueron un desastre. Recuerdo bien mi primer día de comprensión: llevé una clase de cuarto grado al patio de recreo para dibujar círculos en el pavimento y luego medir los diámetros y las circunferencias. Pronto se hizo evidente que los niños usaban principalmente esta oportunidad para divertirse al aire libre, momento en el cual el maestro con el que estaba trabajando sugirió que volviéramos y discutiéramos lo que habíamos hecho. Dibujamos círculos en el pizarrón y, con la participación activa de los niños, descubrimos la relación del perímetro al diámetro. Para mí, esta fue una primera visión del poder de la discusión de clase común.

Afortunadamente, aproximadamente al mismo tiempo, comencé a enseñar primer grado. Esta fue una maravillosa experiencia. Los estudiantes de primer grado todavía son de mente abierta; te acompañan a donde sea que los lleves. Sus reacciones son directas y te hacen ver lo que funciona y lo que no. El primer grado es el mejor lugar para aprender sobre la enseñanza. Además, por buena fortuna, fui emparejado con un excelente maestro. Estaba lista para acompañarme en la aventura conjunta, para nuestro beneficio mutuo. Abriría la lección, presentaría una actividad o una idea, y ella intervendría cuando sintiera que mis didácticas no eran perfectas. Por lo general, eso era cuando me había saltado un escenario.

Desde entonces, he estado aprendiendo intensamente de cada lección y cada conversación con los maestros. Aprendo de lecciones no exitosas no menos que de las mejores; sobre todo, aprendo de esas lecciones que cojean al principio, hasta que se hace lo correcto y despegan.

¿Que aprendi?

Aprendí mucho sobre cómo acercarse a los niños pequeños y cómo piensan los niños. Aprendí la importancia de ser sistemático, una característica que mi enseñanza carecía tan desesperadamente al principio. Aprendí que los conceptos que los adultos perciben como un todo, de hecho, están construidos a partir de muchos componentes pequeños, construidos uno encima del otro, y ninguno de ellos puede omitirse. Aprendí que explicar en la escuela primaria suele ser inútil; El joven debe experimentar los conceptos por sí mismo. En esa noción, tenía razón desde el principio. Es solo que no tenía idea de lo que realmente significa "experimentar". No se refiere a nociones complejas. El aprendizaje a través de la experiencia se relaciona con los conceptos más básicos, como el de número o de "menor que" y "mayor que", que pueden revelarse a través del conteo de objetos.

Pero lo que más me sorprendió fue que aprendí matemáticas. En realidad, mucho de eso. Este no sería el caso si hubiera ido a enseñar a una escuela secundaria. Los conceptos matemáticos son conocidos por un matemático profesional. En la escuela primaria, lo que cuenta es la enseñanza de los principios más básicos: la naturaleza de los números, el significado de las operaciones aritméticas, los principios del sistema decimal. Sobre estos, es raro que un matemático se detenga y piense.

También aprendí que la comprensión de estos principios es inseparable de la didáctica. Una buena enseñanza significa llevar a los niños a experimentar los puntos fundamentales.

capas

Las matemáticas elementales están estructuradas de la misma manera que las matemáticas de alto nivel. A saber, está en capas. Cada capa se construye encima de la anterior. Al igual que en una prueba complicada, el orden en que se unen los componentes es importante. Por lo tanto, en matemáticas elementales, es esencial no omitir etapas.

La diferencia es que las capas en la escuela primaria son las de la parte inferior de la torre. Las estructuras que se construyen no son altas. Pero, como para compensar, puede haber dificultades. A menudo están ocultos, como si estuvieran construidos bajo el agua, lo que significa que no siempre es fácil darse cuenta de lo que son. Las matemáticas elementales generalmente no son sofisticadas, pero son profundas.

Aquí hay un ejemplo. Una clase de primer grado recibió una imagen de cinco manzanas, tres de ellas verdes y dos rojas. Se suponía que los niños debían contar "historias" aritméticas, una sobre suma y otra sobre resta. La importancia de contar tales historias no puede ser sobrestimada. Para entender el significado de las operaciones, no es suficiente escuchar o leer tales historias. Uno tiene que ser capaz de inventarlos por su cuenta.

La historia adicional no planteó ninguna dificultad: "Tenía tres manzanas verdes y dos manzanas rojas, ¿cuántas manzanas tenía en total?" Pero cuando llegaron a la historia de resta contenida en la imagen de tres manzanas verdes y dos rojas, prevaleció la confusión y, como suele suceder en la escuela primaria, se manifestó como falta de atención. Finalmente, uno de los niños dijo: "Tenía cinco manzanas. Comí dos. ¿Cuántas me quedan?" El problema era que esta no era la historia "correcta". No se basó en el dibujo. El dibujo no mostraba la desaparición de dos manzanas, al ser comidas o de otra manera. Por eso los niños encontraron la tarea difícil.

Tuve la experiencia suficiente para saber que esa confusión casi siempre se origina por haber saltado un escenario. En este caso, la etapa que faltaba era el entendimiento de que la resta tiene más de un significado. Existe el significado de "disminución", donde se eliminan los objetos: tenía globos 5, 2 de ellos explotaron, ¿cuántos me quedan? Este es el significado que el niño usó en su historia: sus manzanas desaparecieron. Pero también existe el significado de "comparación de cantidades", donde nada desaparece: hay niños 5 en un grupo, 2 de ellos son niños. Cuantas son chicas O tal vez: ¿cuántas manzanas verdes más que manzanas rojas hay? También en estos casos, el ejercicio es de resta, 5 – 2 o 3 – 2, pero el significado es diferente. Este es el significado representado en el dibujo.

Los diversos significados de la resta son un ejemplo de un punto fino que debe enseñarse explícitamente. Omitir esta etapa resultará en dificultades posteriores con problemas de palabras.

La importancia de los nombres explícitos

Cuando comencé a enseñar en la escuela primaria, estaba convencido de que las formulaciones precisas y el nombramiento explícito de principios era un asunto de adultos. Los niños deberían aprender cosas en un nivel intuitivo, pensé. Una de las mayores sorpresas que me esperaba fue darme cuenta de lo equivocado que estaba al respecto. Los niños necesitan formulaciones precisas. Dichas formulaciones consolidan su conocimiento de la capa actual y la convierten en una base más segura sobre la cual se pueden construir capas superiores. Además, a los niños les encantan las formulaciones y anotaciones "para adultos", y están orgullosos de poder usarlas. Los niños de primer grado que aprenden la notación "1 / 2" están felices de descubrir la notación de "1 / 3" por sí mismos.

Los diferentes significados de la resta (disminución y comparación) me dieron la oportunidad de darme cuenta de la importancia de nombrar explícitamente los principios. Tuve la suerte de acompañar tres clases diferentes en esta misma página del libro de texto de primer grado. La primera lección que enseñé se describió anteriormente; pasamos directamente de la historia de suma a la historia de resta. En la segunda clase, antes de llegar a la historia de la resta, detuve la lección y comencé una discusión explícita de los diversos significados de la resta. Esto fue sin problemas, y los niños no tuvieron dificultades para identificar el tipo de resta en la imagen. En la tercera clase, realicé un experimento. En lugar de una discusión explícita, precedí el trabajo en la página con un ejemplo: el problema de los cinco niños de los cuales tres eran niñas. Esto no funcionó. El ejemplo no proporcionó a los niños un terreno suficientemente sólido sobre el cual construir. Esta fue una buena lección para mí sobre lo importante que es formular principios explícitamente.

¿Qué aritmética debe cubrirse en la escuela primaria?

La respuesta vergonzosamente simple es: las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.

Sin embargo, esta respuesta aparentemente simple es engañosa de dos maneras. Una es que en realidad hay Digital XNUMXk operaciones Además de las cuatro operaciones clásicas, hay una quinta que es aún más fundamental e importante. Es decir, formando una unidad, tomando una parte del mundo y declarándolo el "todo". Esta operación está en la base de gran parte de las matemáticas de la escuela primaria. En primer lugar, al contar, cuando tienes otra unidad, dices que tienes "dos", y así sucesivamente. La operación de multiplicación se basa en tomar un conjunto, declarar que esta es la unidad y repetirlo. El concepto de fracción parte de tener un todo, del cual se toman partes. El sistema decimal se basa en reunir decenas de objetos en una unidad llamada "10", y luego repetirlo recursivamente.

La formación de una unidad y la asignación de un nombre a ella es algo que debe aprenderse y destacarse explícitamente. Conocí a niños que, en quinto grado, sabían cómo encontrar un cuarto de una clase de 20, pero tenían dificultades para entender cómo encontrar "tres cuartos" de la clase, al haber perdido la etapa del proceso correspondiente de repetir una unidad en multiplicación.

Pero hay otra razón por la cual aprender "las cuatro operaciones" en la escuela primaria no es una respuesta tan simple. Esto se debe a que las operaciones tienen dos componentes distintos. Uno es su significado y el otro su cálculo. Insisto en este hecho aparentemente simple porque esta distinción no siempre es clara para los encargados de formular políticas educativas, especialmente para los escritores de libros de texto. Algunos libros de texto comienzan con el cálculo. Algunos no destacan la diferencia entre "2 veces 3" y "3 veces 2". La mayoría de ellos no hacen la distinción entre los dos tipos de división (6 / 2 = 3, porque 3 + 3 = 6, y 6 / 2 = 3, porque dos entra en seis tres veces, a saber, 2 + 2 + 2 = 6).

El significado de una operación es el vínculo entre esta y la realidad, la operación del mundo real que le corresponde. El cálculo es encontrar el resultado. Pero, de nuevo, hay algo que a menudo no se realiza: en realidad no se trata de encontrar el resultado. Es encontrar el representación decimal del resultado El hombre antiguo, al sumar ocho y cuatro, dibujó ocho líneas al lado de cuatro líneas, y representó el resultado con doce líneas; aquí no hay "cálculo", y el hombre antiguo no tuvo que enviar a sus hijos a la escuela para aprender esto. En "8 + 4 = 12", por otro lado, hay un cálculo y se realiza una operación invisible: la de reunir diez unidades en un "10". Y, por supuesto, también está la escritura del "valor posicional" del número, otro principio no trivial. Por lo tanto, comprender los algoritmos para el cálculo equivale a una comprensión profunda del sistema decimal. Si los encargados de formular políticas se dieran cuenta de esto, podrían ser menos aptos para introducir el uso de calculadoras en la escuela primaria.

Para resumir, en la escuela primaria, los niños (y matemáticos) aprenden el significado de cinco operaciones y sistema decimal.

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Otro hecho importante debe saberse sobre las matemáticas de la escuela primaria: la división tiene un estatus especial en el estudio de la aritmética. Esto es cierto en la mayoría de los programas de estudio de todo el mundo, y con razón. Se le otorga una mayor parte del tiempo de enseñanza que cualquier otra operación. El cambio ocurre alrededor de la mitad del cuarto grado. A partir de este momento, hasta el final del sexto grado, se les enseña a los niños los significados de la división, los problemas de razón (que se expresan por división) y la herramienta eficiente y sistemática utilizada cuando se discute la división y las razones: la fracción, tanto la fracción simple y la fracción decimal.

¿Por qué es tan especial la división? Porque la suma y la resta son operaciones demasiado simples para describir el mundo. Cuando las cosas se complican, se requieren multiplicación y división. Una gran parte de nuestro mundo opera de acuerdo con los principios de la relación lineal. En las elecciones, por ejemplo, el número de mandatos que recibe cada partido está más o menos relacionado linealmente con el número de votos que recibió. Y las relaciones lineales se expresan por división.

Otra razón para pasar más tiempo en la división es que es más difícil que las otras operaciones. De las cuatro operaciones, tiene el mayor significado, es la más difícil de calcular y los problemas que puede representar son los más complicados.

La curiosa historia de la educación matemática en Israel

Como asignatura académica, la educación matemática es muy joven, y todos hemos tenido la desgracia de ser sus conejillos de indias. Podría decirse que Israel ha pagado un precio más alto que en cualquier otro lugar del mundo por esta experimentación.

La reforma estadounidense de "nueva matemática" de los 1960 fue llevada a Israel en una forma muy extraña y extrema, llamada "estructuralismo" por sus autores. Se impuso en prácticamente todas las escuelas israelíes durante un cuarto de siglo completo. Su historia puede reflexionar sobre la política de la educación, no solo en Israel.

Dos investigadores australianos, Ken Clements y Nerida Ellerton, se preguntaron por qué tantas "reformas" educativas estadounidenses y británicas se han exportado a otros países, a pesar de haber fracasado miserablemente en su país de origen. Su explicación fue que las personas, que estudiaban para obtener su doctorado en los EE. UU. O el Reino Unido en el momento de la reforma, regresaron a sus países llevando el evangelio no probado de la reforma.^†

En este caso, el nuevo "estructuralismo" matemático significaba que ningún concepto u operación se enseñaba directamente o a través de su significado. Para cada concepto había una "representación" o sustituto, cuyo estudio se suponía que conduciría a una comprensión del concepto original. Las cuatro operaciones se enseñaron con varillas Cuisenaire. Se suponía que una imagen similar a una cara en la que se colocan tres números, dos en los lugares de los ojos y uno en la boca, debía enseñar a los niños cuándo sumar y cuándo restar. Si los dos números estaban en los ojos y el número que faltaba en la boca, era un problema de suma. Si un número estaba en un ojo y otro en la boca, era un problema de resta. (Se hizo que los niños recitaran: "Ojo y ojo son más; boca y ojo son menos"). La división se enseñó como la operación inversa de la multiplicación, usando los llamados "rectángulos de multiplicación". Lo más extremo fue la enseñanza del sistema decimal. En lugar del principio de la colección de decenas, se inventaron extrañas criaturas llamadas "colas del cuerpo", que tenían cuerpos que representaban las decenas y las colas que representaban las unidades. Y esos son solo algunos de muchos de estos dispositivos.

En las evaluaciones internacionales de matemáticas, Israel cayó del primer lugar en el mundo en 1964 al puesto 29 en 1999, detrás de todos excepto las naciones en desarrollo.

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La educación matemática en Israel ha sufrido recientemente un cambio profundo. Junto con otros matemáticos y maestros de aula, establecimos una organización sin fines de lucro, la Fundación Israelí para el Logro de las Matemáticas para Todos, para trabajar por la mejora de la educación matemática en Israel. Presionamos con éxito al Ministerio de Educación para que eliminara los libros de texto "estructuralistas" de las escuelas, reemplazándolos por un plan de estudios más tradicional que se centre en el contenido que se debe aprender, en lugar de en cómo se debe enseñar.

Actualmente, la fundación está trabajando directamente en aproximadamente el 10 por ciento de las escuelas de habla hebrea de la nación (ha comenzado un movimiento paralelo en las escuelas de habla árabe). Estas escuelas están utilizando traducciones de libros de texto de matemáticas de Singapur, una de las naciones con mejor desempeño del mundo en evaluaciones internacionales de logros en matemáticas. Estos textos son directos, desprovistos del uso de la sofisticación en aras de la sofisticación, y se basan en la sabiduría matemática. Los conceptos y procedimientos matemáticos se introducen cuidadosamente, paso a paso, para minimizar la posibilidad de etapas perdidas y confusión futura. Los textos se centran en el significado de las operaciones matemáticas antes de enseñar cómo calcular usando esas operaciones.

Nuestro enfoque se basa en dos principios: comenzar con lo concreto y mucha discusión en clase. Hay mucho menos trabajo individual en los libros de lo que solía haber. En una lección típica, los niños experimentan algún principio juntos, de manera concreta, y verbalizan lo que han experimentado. Por ejemplo, si los niños calculan 23 – 5, tendrán dos grupos de palos 10, unidos por bandas de goma y palos sueltos 3. Luego se les pide que expliquen cómo se pueden restar las barras 5, incluido por qué es necesario desvincular uno de los grupos de 10 para lograr esto. Luego se les pide que escriban lo que hicieron, en forma vertical, y lo relacionen con el proceso concreto de sustracción. Aunque los estudiantes hablan mucho, se sientan frente a un maestro al frente del aula, donde ella puede guiar la discusión y guiar a los niños hacia los conceptos correctos.

Nuestra organización ofrece mucho apoyo a los maestros a medida que implementan los nuevos métodos y materiales (cada clase se visita al menos una vez al mes), con un desarrollo profesional proporcionado de manera constante. Descubrimos que los maestros aprenden muchas matemáticas junto con los niños, tal como yo lo hice.

"Cómo" versus "Qué"

Comencé señalando que las matemáticas elementales tienen mucha profundidad, con muchos principios sutiles y a veces ocultos. Para resumir, permítanme volver a este punto.

Durante los últimos años de 50, los formuladores de políticas educativas han estado investigando cómo para enseñar matemáticas Nuestra experiencia con este enfoque deja en claro que el qué debería venir antes de la cómo. La enseñanza del sonido se basa, en primer lugar, en la comprensión de los puntos finos de las matemáticas elementales y en el desarrollo sistemático de sus conceptos. "Puntos finos" no significan sofisticación. Todo lo contrario; significan que incluso las ideas que pueden parecer obvias deben ser experimentadas y verbalizadas.

La tendencia actual en educación es hacer felices a los niños en sus estudios, a fin de prevenir la "ansiedad matemática". Mi experiencia es que los niños son más felices cuando realmente entienden los principios de las matemáticas, no cuando hacemos creer que lo hacen.

Ron Aharoni es profesor de matemáticas en el Instituto Tecnológico Technion-Israel en Haifa, Israel, y autor de Aritmética para padres, un libro para adultos sobre matemáticas para niños, publicado por Schocken Press en 2004. Este artículo está adaptado de una dirección de 2003 al Coloquio matemático británico en Birmingham, Inglaterra.

* Thales fue el primer matemático en la historia en ser mencionado por su nombre. Él utilizó este método para calcular la altura de las pirámides. (volver al articulo)

^†Clements, MA y Ellerton, NF (1996) Investigación en educación matemática: pasado, presente y futuro. Bangkok: UNESCO. Ver también Clements, MA (2003). Una visión externa de las tendencias del plan de estudios de matemática escolar de América del Norte. En GMA Stanic y J. Kilpatrick (Eds.), Una historia de las matemáticas escolares. (Vol. 2). Reston, VA .: Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas. (volver al articulo)