Intercalar en matemáticas

WCuando se introdujeron los Estándares Estatales Básicos Comunes en Illinois en 2010, los maestros se volvieron muy expertos en la planificación de unidades hiper-enfocadas que "profundizaron" en el contenido y trabajaron para desarrollar los hábitos matemáticos de los estudiantes a través de los Estándares Básicos Comunes para la Práctica Matemática. Fue un momento emocionante; Como maestra de matemáticas en Illinois, yo (Anne) pude resolver y aprender sobre tareas complejas, había más oportunidades para la colaboración entre escuelas que nunca antes, y pasé tiempo pensando en el "cómo" de facilitar la resolución de problemas en mi salón de clases. .

Entonces, ¿por qué, entonces, mis alumnos se desempeñaron tan bien a corto plazo y tan mal a largo plazo, cuando su aprendizaje y comprensión del contenido parecía tan profundo? ¿Por qué los estudiantes que enseñé en séptimo grado me juraron en octavo grado que nunca habían oído hablar de figuras geométricas similares, cuando pasamos seis semanas estudiándolas y sacudieron cada evaluación al final de la unidad?

Pensé que porque habíamos dedicado mucho tiempo al contenido y que los estudiantes podían resolver problemas complejos en las evaluaciones de la unidad, éramos buenos. Más tarde me di cuenta de que no había creado oportunidades para que los estudiantes continuaran recuperando la información con el tiempo para mejorar y profundizar su aprendizaje.

A partir de esta comprensión, comencé a investigar la investigación de la memoria y traté de pensar en formas de tejer en la revisión. Todo lo que encontré fue etiquetado como "en espiral", y me pareció mucho trabajo reunir cosas como los calentamientos diarios y luego mucho tiempo de clase para dedicar a esta parte separada de un período de clase ya lleno.

Entonces, comencé a notar una estrategia llamada intercalación* en la investigación que estaba leyendo. Después de aprender más sobre la ciencia del aprendizaje y conectarme con Pooja, un científico cognitivo, comencé a comprender tanto lo que la investigación ha demostrado sobre esta estrategia basada en la investigación como cómo implementarla rápida y fácilmente en mi clase.^†

Entrelazado: simplemente mézclalo

Una de las estrategias más fundamentales en la enseñanza de las matemáticas son los problemas de práctica. ¿Por qué? Porque, como todos sabemos, practicar una habilidad mejora el rendimiento de esa habilidad. Al mismo tiempo, también sabemos que el hecho de que los estudiantes puedan responder correctamente a los problemas de práctica no significa que entiendan completamente el concepto o cómo aplicar una fórmula, especialmente no a largo plazo. En otras palabras, solo porque los estudiantes entiendan un concepto clave en séptimo grado no garantiza que entenderán o recordarán el mismo concepto en octavo grado.

¿Cómo podemos asegurar que los estudiantes aprendan matemáticas y mejoren sus habilidades, tanto a corto como a largo plazo? Como se describe en el libro Enseñanza poderosa: dar rienda suelta a la ciencia del aprendizaje, la investigación realizada por científicos cognitivos demuestra que el entrelazado, o la simple estrategia de mezclar conceptos para aprender, puede aumentar (e incluso doble) aprendizaje de las matemáticas.¹

Piense en un conjunto de problemas típico de un libro de texto. Una lección sobre razones, por ejemplo, podría ser seguida por una docena de problemas de razón. Esto es un disposición bloqueada, donde los problemas en un concepto se introducen todos a la vez, seguidos de problemas en un segundo concepto, luego problemas en un tercer concepto, y así sucesivamente. De hecho, un análisis de seis libros de texto de matemáticas populares de secundaria descubrió que más del 80 por ciento de los problemas de práctica estaban bloqueados.²

Menos común, pero más poderoso para el aprendizaje, es un arreglo intercalado, donde los problemas de práctica para múltiples conceptos se entrelazan o mezclan en todo el conjunto de problemas. Por ejemplo, supongamos que los estudiantes de un aula de matemáticas de cuarto grado están aprendiendo sobre el número de caras (F), bordes (E), esquinas (C) y ángulos (A) de los prismas. Después de que se enseñan los cuatro conceptos, los estudiantes pueden practicar su comprensión de dos maneras diferentes (cada letra a continuación representa un problema de práctica):

Conjunto de problemas bloqueados: F F F F E E E E C C C C A A A A
Conjunto de problemas intercalados: F E C A F E C A F E C A F E C A

En el conjunto de problemas bloqueados, los estudiantes completan cuatro problemas de práctica en caras, luego cuatro en bordes, luego cuatro en esquinas y finalmente cuatro en ángulos. En el conjunto de problemas intercalados, los diferentes tipos de problemas de práctica se mezclan. Es importante destacar que ambos conjuntos tienen el mismo tipo y número de problemas de práctica; simplemente han sido reorganizados. Lo que es notable es que simplemente mezclar conceptos similares en el conjunto de problemas intercalados mejora dramáticamente el aprendizaje a largo plazo en comparación con el conjunto de problemas bloqueados.

Considere un ejemplo simple sobre el béisbol, del libro Make It Stick: la ciencia del aprendizaje exitoso. Si un bateador recibe 10 bolas rápidas, seguido de 10 cambios (lanzamientos más lentos) y luego 10 bolas curvas, el bateador sabrá que solo tiene que cambiar su estrategia de bateo después de 10 lanzamientos. La masa literalmente sabe lo que viene. Pero, si el bateador no sabe qué tipo de lanzamiento está por venir, si los lanzamientos son confusos o incluso aleatorios, el bateador tendrá que elegir qué estrategia de bateo funciona mejor para cada lanzamiento.³

El intercalado no solo es poderoso para el aprendizaje; También es flexible. Se ha demostrado que esta estrategia mejora el aprendizaje de conceptos matemáticos tan diversos como fracciones, álgebra, cálculo y geometría.⁴ Promueve el aprendizaje para estudiantes que van desde la escuela primaria y secundaria hasta la universidad. De hecho, el intercalado también es beneficioso para las habilidades no matemáticas, incluido el aprendizaje de vocabulario en idiomas extranjeros, recordar letras de canciones, asociar artistas con sus pinturas e identificar tipos de pájaros.⁵

Yo (Anne) asignaba tareas semanales a mis clases de octavo grado, que consistían en cinco problemas. Los dos primeros problemas estaban relacionados con lo que estábamos estudiando la semana actual, y los otros tres problemas estaban relacionados con el contenido aprendido la semana pasada, el mes pasado y el año pasado. Al intercalar problemas relacionados del aprendizaje anterior, los estudiantes tuvieron que discriminar y seleccionar estrategias apropiadas para resolverlos.

Aquí hay ejemplos de problemas intercalados que resolvimos al trabajar para conectar el juego de números con expresiones y ecuaciones:

^‡

Los recuerdos desencadenados por el intercalado quizás fueron mejor resumidos por un estudiante que escribió en una reflexión: “Me gustó la tarea semanal porque me recordó cosas que sabía muy bien antes pero que había olvidado. Cuando lo recordé, hizo que aprender las cosas nuevas fuera más fácil y tenía más sentido ”.

Queremos enfatizar que intercalar en matemáticas no significa que los maestros deben crear conjuntos de problemas desde cero. Si asigna a los estudiantes problemas de práctica de un libro de texto, asigne problemas relacionados de capítulos anteriores y del capítulo actual. No hay necesidad de cambiar los problemas.—Simplemente mezcle lo que asigna.

Investigación sobre intercalado

En el ejemplo anterior, donde los alumnos de cuarto grado aprendían sobre los prismas, los investigadores descubrieron que el rendimiento de la prueba inmediatamente después de los problemas de práctica era mayor para la condición bloqueada. Sin embargo, después de solo 24 horas, la práctica entrelazada condujo a un rendimiento de prueba significativamente mayor (77 por ciento) en comparación con la práctica bloqueada (38 por ciento).⁶
En otro estudio de investigación, los estudiantes de séptimo grado estaban aprendiendo sobre gráficos y pendientes. Después de 24 horas, los estudiantes que completaron problemas de práctica intercalados superaron a los estudiantes que completaron problemas de práctica bloqueados en más de una calificación de letra (80 por ciento frente a 64 por ciento). Aún más dramáticamente, después de un mes, el rendimiento de la prueba para el grupo intercalado fue casi doble en comparación con el rendimiento para el grupo bloqueado (74 por ciento frente a 42 por ciento).⁷

En un estudio reciente, casi 800 estudiantes de séptimo grado en Florida completaron hojas de trabajo de matemáticas a lo largo del semestre que contenían problemas intercalados o bloquearon problemas relacionados con círculos, gráficos, desigualdades y expresiones.⁸ En una prueba final un mes después, los estudiantes en el grupo intercalado obtuvieron puntajes significativamente mayores (61 por ciento) que los estudiantes en el grupo bloqueado (38 por ciento). A través de estos estudios, y muchos más, la evidencia para el intercalado es clara: simplemente reorganizar los problemas de práctica puede tener un gran impacto en el aprendizaje matemático a largo plazo de los estudiantes.

Los investigadores se refieren a los beneficios de intercalar como una "dificultad deseable". Como saben los maestros y los estudiantes, cuando el aprendizaje es un desafío, se "pega" y se vuelve más permanente. Cuando los maestros intercalan conceptos de historia (p. Ej., Eventos clave de la Revolución Francesa y la Revolución Rusa), conceptos de ciencias (p. Ej., Mitosis, meiosis y fisión) o conceptos de otras áreas de contenido, los estudiantes deben participar en una "práctica de recuperación" para pensar detenidamente , extraer información y practicar lo que saben.

Tenga en cuenta que debido a estas dificultades deseables, el intercalado puede conducir a un rendimiento inicial más bajo en los problemas de práctica, dando la impresión de que el intercalado es ineficaz. Como describimos anteriormente, ¡lo que funciona mejor para aprender a corto plazo (práctica bloqueada) no garantiza el aprendizaje a largo plazo!

Encuestamos a cientos de educadores de todo el mundo sobre el entrelazado y les hicimos la siguiente pregunta: "¿Por qué los problemas de práctica intercalados (ABC ABC ABC) son más beneficiosos para el aprendizaje que los problemas de práctica bloqueados (AAA BBB CCC)?"^§ Estas son algunas de las ideas que los maestros compartieron:

• La práctica bloqueada se vuelve repetitiva sobre el procedimiento. Con el intercalado, debe cambiar de marcha al pensar en cada tipo de pregunta.
• Las fuerzas de intercalación recuperan tanto qué tipo de pregunta es y qué hacer con ese tipo de pregunta.
• Con el entrelazado, se requiere un mayor esfuerzo para la recuperación, y un mayor esfuerzo significa un mayor aprendizaje.
• El intercalado ayuda a los estudiantes en el futuro cuando necesitan decidir qué proceso utilizar para resolver un problema.
• El intercalado fomenta un procesamiento más profundo durante cada conjunto de prácticas, y también un monitoreo más preciso de su progreso de aprendizaje.
• El intercalado ayuda a eliminar esa familiaridad que viene con la práctica repetida, minimizando las ilusiones de competencia y dominio.

La clave para intercalar: discriminación

¿Por qué la reorganización de los problemas de práctica mejora el aprendizaje de las matemáticas? Es porque el entrelazado promueve discriminación, y la clave para intercalar es mezclar similares ideas.

Considere este primer ejemplo, donde dos problemas son similares pero requieren estrategias sutilmente diferentes:

En un segundo ejemplo, los problemas matemáticos podrían verse diferentes, pero requieren mismo estrategia. A continuación se muestra una tarea bloqueada de un libro de texto de matemáticas de octavo grado.⁹ Después de que los alumnos resuelven los problemas 1–9, que requieren explícitamente la multiplicación, los alumnos pueden asumir correctamente que el problema 10 (un problema verbal) también requiere la multiplicación.

En este segundo ejemplo, los estudiantes pueden resolver el problema verbal sin leer ninguna palabra.** Si un conjunto de problemas completo requiere el mismo procedimiento o estrategia, los estudiantes pueden "enchufar y desconectar" sin pensar en lo que deben hacer.

Para intercalar, lo que importa no es el formato de los problemas de práctica; Son los conceptos subyacentes. Si desea que los estudiantes discriminen con cuidado, interrumpa los problemas de práctica que se parecen pero requieren una experiencia diferente estrategias.¹⁰

Intenta entrelazar por ti mismo. ¿Cuáles son las respuestas para estos problemas?

• Un insecto vuela 48 millas al este y luego 20 millas al sur. ¿A qué distancia está el error de donde comenzó?
• Un insecto vuela 48 millas al este y luego 14 millas al norte. ¿A qué distancia está el error de donde comenzó?
• Un insecto vuela 48 millas al este y luego 6 millas al oeste. ¿A qué distancia está el error de donde comenzó?

Publicamos estos problemas de práctica intercalados en línea, y de más de 250 respuestas, el 65 por ciento de los maestros resolvió el primer problema, el 59 por ciento de los maestros resolvió el segundo problema y el 93 por ciento de los maestros resolvió el tercer problema.^{† †}

¿Notaste lo diferente del tercer problema? ¡Requiere una simple resta! Estamos contentos de que los maestros en nuestra encuesta no cayeran en el cambio sutil del teorema de Pitágoras a la resta, pero es probable que sus estudiantes no sean tan inteligentes sin más práctica intercalada.¹¹

Yo (Anne) también uso los problemas de mi plan de estudios (Matemáticas ilustrativas) para intercalar oportunidades para que los estudiantes de octavo grado seleccionen estrategias como parte de su práctica independiente, como los problemas a continuación.¹²

Todos los problemas en el ejemplo anterior están relacionados con el amplio tema del razonamiento proporcional, pero tienen matices que requieren diferentes métodos para resolver. Estos matices ayudan a los estudiantes a discriminar y aprovechar el aprendizaje previo, y tanto mis estudiantes como yo vimos una diferencia. Los estudiantes tenían más confianza en el aprendizaje actual en este capítulo de contenido y eran más reflexivos acerca de cómo resolvieron los problemas. Este cambio fue un gran cambio para algunos estudiantes que anteriormente dependían de cualquier método que se discutió en clase más recientemente para resolver cualquier problema que se les dio.

Tenga en cuenta que mezclar todo no significa que siempre sea beneficioso para el aprendizaje. Un estudio indicó que mezclar diferentes materias del curso, por ejemplo, química e historia, no aumenta el aprendizaje.¹³ Por qué no? Simplemente porque esto no implica discriminación; Las áreas de contenido son muy diferentes. Como otro ejemplo, piense en una ensalada de frutas llena de arándanos, fresas y frambuesas. ¿Agregarías zanahorias o brócoli? ¡Probablemente no! Es importante intercalar similares conceptos para que los estudiantes realmente tengan que pensar en las diferencias sutiles. Cuando los estudiantes realmente tienen que pensar, esto desafía el aprendizaje, lo que aumenta el aprendizaje.¹⁴

PEl aterrizaje para la práctica de recuperación se convirtió en una parte regular de la planificación de mi unidad. Yo (Anne) trabajé para recopilar capturas de pantalla de problemas en línea disponibles gratuitamente y los organicé en archivos que me ayudaron a tomar rápidamente lo que necesitaba para contenido específico. Los materiales que anteriormente usaba para crear cuestionarios calificados, los reutilicé para oportunidades de entrelazado. Establecí mis unidades teniendo en cuenta los conocimientos previos asumidos de los estudiantes para que estas herramientas eléctricas pudieran ayudarlos a acceder al material que habían almacenado en algún lugar de sus recuerdos.

La clave, para mí, era usar lo que tenía, simplemente mejor. Había visto conversaciones sobre "revisión en espiral" en Twitter y en materiales de instrucción, pero siempre me pareció una tonelada de trabajo crear todos estos nuevos calentamientos, y comprar nuevos materiales de instrucción no era ni un deseo ni una opción. Entonces, en cambio, miré cómo progresaban mis alumnos hasta los grados 5–9 en mi contexto y organicé bancos de problemas que ya tenía (y que me gustaban) para que pudieran usarse para intercalar.

Los cambios que vi en nuestra cultura de aula y los cambios que los estudiantes hicieron en el aprendizaje a largo plazo y la capacidad de demostrar que el aprendizaje fueron sorprendentes, y requirió un esfuerzo notablemente pequeño de mi parte o de ellos. Al organizar la información de manera más significativa y al aplicar herramientas de poder respaldadas por la investigación en ciencias cognitivas, podemos disminuir la presión y fortalecer la confianza, la alegría y el rendimiento en nuestras aulas.

Pooja K. Agarwal es un científico cognitivo y coautor de Powerful Teaching: Unleash the Science of Learning. ana agostinelli es maestra de matemáticas de séptimo y octavo grado en las Escuelas Públicas de Chicago. Siguelos en Twitter @RecuperarAprender y @AnneAgost.

* Para recursos sobre intercalado, visite www.retrievalpractice.org/interleaving (volver al artículo)

^†Para obtener más información sobre el entrelazado y otras estrategias, consulte "Fortalecimiento de la caja de herramientas para estudiantes" en la edición de otoño de 2013 de Educador estadounidense, disponible en www.aft.org/ae/fall2013/dunlosky (volver al artículo)

^‡Respuestas al conjunto de problemas 1-5 anteriores:
1. 20
2. El resultado siempre será el doble del número inicial.
3. 3 × (7 + 3) = 30
     25 - (5 + 4 × 5) = 0
     25 - (5 + 4) × 5 = -20
4. Sergio quiere decir que resolver ecuaciones es "deshacer" los pasos que tomó para configurar el
     ecuación. En este ejemplo, primero podría dividir por 2, luego sumar 3 para obtener x = 12.
5. r + (r - 24) (volver al artículo)

^§Esta encuesta está disponible en www.retrievalpractice.org/interleaving-survey (volver al artículo)

** La respuesta correcta para el problema número 10 es 1,545 millas cuadradas. Calcular la respuesta requiere el mismo procedimiento que los problemas 1–9: multiplicación. (volver al artículo)

^{† †}Las respuestas correctas son 52, 50 y 42, respectivamente. Para más problemas de práctica entrelazada, visite www.retrievalpractice.org/interleaving-practice (volver al artículo)

Notas finales

1. PK Agarwal y PM Bain, Enseñanza poderosa: dar rienda suelta a la ciencia del aprendizaje (San Francisco: Jossey-Bass, 2019).
2. D. Rohrer, RF Dedrick y PK Agarwal, "Práctica de matemáticas intercaladas: dar a los estudiantes la oportunidad de aprender lo que necesitan saber", Universidad del Sur de Florida, 2017, www.retrievalpractice.org/interleaving.
3. PC Brown, HL Roediger y MA McDaniel, Make It Stick: la ciencia del aprendizaje exitoso (Cambridge, MA: Harvard University Press, 2014).
4. D. Rohrer, RF Dedrick y S. Stershic, "La práctica intercalada mejora el aprendizaje de las matemáticas" Revista de psicología educativa 107 (2015): 900 – 908.
5. P. Carvalho y R. Goldstone, “¿Cuándo la práctica de entrelazado mejora el aprendizaje?” En El Manual de Cambridge de Cognición y Educacióned. J. Dunlosky y K. Rawson (Cambridge: Cambridge University Press, 2019), 411–436.
6. K. Taylor y D. Rohrer, "Los efectos de la práctica intercalada" Psicología Cognitiva Aplicada 24 (2010): 837 – 848.
7. Rohrer, Dedrick y Stershic, "La práctica intercalada mejora el aprendizaje de las matemáticas".
8. D. Rohrer et al., "Un ensayo controlado aleatorio de la práctica matemática intercalada" Revista de psicología educativa, publicación anticipada en línea, http://dx.doi.org/10.1037/edu0000367.
9. D. Rohrer, "El entrelazado ayuda a los estudiantes a distinguir entre conceptos similares" Revisión de la psicología educativa 24 (2012): 355 – 367.
10. SC Pan, "El efecto de entrelazado: mezclarlo aumenta el aprendizaje" Scientific American, Agosto 4, 2015.
11. D. Rohrer, RF Dedrick y K. Burgess, "El beneficio de la práctica matemática intercalada no se limita a tipos de problemas superficialmente similares" Boletín y revisión psiconómica 21 (2014): 1323 – 1330.
12. Recursos abiertos, "Lección 2: Introducción de relaciones proporcionales con tablas" https://access.openupresources.org/curricula/our6-8math/en/ccss/grade-7….
13. H. Hausman y N. Kornell, "Mezclar temas mientras se estudia no mejora el aprendizaje" Revista de Investigación Aplicada en Memoria y Cognición 3 (2014): 153 – 160.
14. D. Rohrer, "Intercalar ayuda a los estudiantes a distinguir".